Productos Notables
PRODUCTOS NOTABLES O IDENTIDADES
Se llama productos notable4s a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin efectuar la multiplicación.
Por su gran utilidad es conveniente retenerlos en la memoria. Los más importantes son:
* Axioma de la distribución de la multiplicación respecto a la suma.
a(x + y + z) = ax + ay + az
CUADRADO DE UN BINOMIO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b)(a – b) = a2 – b2
PRODUCTO DE BINOMIOS DE TÉRMINO COMÚN "x" , Reglas de Stevin
(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + a b
CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO
(a + b)3 = a 3 + 3a2b+ 3ab2 + b 3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
( a + b) ( a² - ab + b² ) = a³ + b³
( a – b) ( a² + ab + b² ) = a³ - b³
CUADRADO DE UN TRINOMIO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
CUBO DE UN TRINOMIO
IDENTIDADES DE LEGENDRE
Ejemplos sobre cuadrado de un binomio:
Ejemplo 01:
( 3x + 5 ) 2 = (3x) 2 + 2 ( 3x )( 5 ) + 5 2
El cuadrado del 1er término es (3x)(3x)) = 9x2
El doble producto de ambos términos es 2(3x)(5))=((6x)(5)) = 30x
El cuadrado del 2do término es ((5)(5)) = 25
= 9x 2 + 30 x + 25
Ejemplo 02
(2x – 7y) 2 = (2x)2 – 2 (2x)(7y) + (7y)2
El cuadrado del 1er término es (2x)(2x)) = 4x2
El doble producto de ambos términos es 2(2x)(7y)) = (4x)(7y)) = 28xy
El cuadrado del 2do término es ((7y)(7y)) = 49y2
= 4x 2 – 28 xy + 49y2
Ejemplo 03
Más ejemplos:
a) (x + 3)2 = x2 + 2(3x) + 32 = x2 + 6x + 9
b) (x – 3)2 = x2 – 2(3x) + 32 = x2 – 6x + 9
c) (2a + b)2 = (2a)2 + 2(2a)b + b2 = 4a2 + 4ab + b2
d) (3a – 5b)2 = (3a)2 – 2(3a)(5b) + (–5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2
Ejercicios propuestos 01:
1. (5x3 + 2y2 )2 =
2. (4x3 + 5y3 )2 =
3. (6x2 + 5z3 )2 =
4. (7x5 + 2y6 )2=
5. (9x3 + 6y5 )2 =
6. (5x4 + 6z7)2 =
Ejercicios propuestos 02:
1. (6x5 - 2y2 )2 =
2. (3x3 - 5y4 )2 =
3. (8x2 - 5z5 )2 =
4. (5x5 - 2y3 )2=
5. (9x3 - 6y4 )2 =
6. (7x4 - 6z2)2 =
Ejemplos sobre diferencia de cuadrados:
Ejemplo 01
(3x + 4y)(3x – 4y) = ( 3x )2 – ( 4y ) 2 = 9x2 – 16y2
a) El cuadrado del 1er término es (3x)(3x) = 9x2
b) El cuadrado del 2do término es (4y)(4y) = 16y2
Más ejemplos:
a) (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4
b) (2a – 1)(2a + 1) = (2a)2 – (1)2 = 4a2 – 1
c) (3x – 2y)(3x + 2y) = (3x)2 – (2y)2 = 9x2 – 4y2
Ejercicios propuestos:
1. (5x +4y) (5x – 4y) =
2. (3z – 4y) (3z + 4y) =
3. (5x2 + 7y3) (5x2 - 7y3) =
4. (7x3 – 6y2) (7x3 + 6y2) =
5. (9x+ 5y ) ( 9x - 5y ) =
6. (4x2 – 8y2) (4x2 + 8y2) =
7. (7x2 + 9y ) (7x2 - 9y ) =
Ejemplos sobre Producto de binomios de término común:
Ejemplo 01
( x + 4 ) ( x + 3 ) = x 2 + ( 4 + 3 ) x + 4 × 3
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (4 + 3)x = 7x
c) El producto de los términos no comunes es (4)(3) = 12
= x 2 + 7 x + 12
Ejemplo 02
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Ejercicios propuestos:
a) (x2 + 6) . (x2 – 2) b) (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)
c) (y – 3/5) . (y + 4) d) (2x - 7) . (2x +2)
e) Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces ¿cuánto vale a + b?
f) ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de:
a) (x + 3) por
b) (x - 1) es igual a cero?
g) Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm y en el otro se le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura?
Ejemplos de Cubo de la suma y diferencia de un binomio:
Ejemplo 01
(2x + 4y)3 = (2x)3 + 3(2x)2)(4y) + 3(2x)(4y)2 + (4y)3
a) El cubo del 1er término es (2x)(2x)(2x) = 8x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término
3(2x)(2x)(4y)=(6x)(2x)(4y)=(12x2)(4y)=(48x2y)
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término
3(2x)(4y)(4y)=(6x)(4y)(4y)=(24xy)(4y)=(96xy2)
d) El cubo del 2do término es (4y)(4y)(4y) = 64y3
= 8x 3 + 48 x 2y + 96 x y 2 + 64 y3
Ejemplo 02
(6x – 2y)3 = ( 6x )3 – 3(6x)2(2y) + 3(6x)(2y)2 – (2y)3
El cubo del 1er término es (6x)(6x)(6x) = 216x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término
3(6x)(6x)(2y)=(18x)(6x)(2y)=(108x2)(2y)=(216x2y)
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término
3(6x)(2y)(2y)=(18x)(2y)(2y)=(36xy)(2y)=(72xy2)
d) El cubo del 2do término es (2y)(2y)(2y) = 8y3
= 216 x 3 – 216 x 2y + 72 x y2 – 8 y3
Ejercicios propuestos 01:
a) (x + 3)3 b) (3X/2 + 4/5) 3 c) ( y/3 + 3) 3
d) (x2 + 5) 3 e) (xy + xz) 3 f) (a2 b + ac) 3
g) (2xy + y2 ) 3
h) Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su arista en x unidades?
Ejercicios propuestos 02:
1) (X – 1/2)3 2) (2X/3 - 1/5) 3 3) (a/3 - 3) 3
4) (X2 - 5) 3 5) (xy - xz) 3 6) (2xy - x2 ) 2
7) Compara los siguientes cubos a) (x - p) 3
b) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?
8) Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase ?
9) Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b) 3 ?